Задача №20712

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 12 и 21 от вершины $A\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB\text{,}$ если $\cos \angle BAC=\frac{\sqrt{7}}{4}\text{.}$

Пусть $T$ — точка касания окружности с лучом $AB\text{.}$ Для точки $A$ отрезок $AT$ — касательная, а прямая $AC$ — секущая, пересекающая окружность в точках $M$ и $N\text{.}$ По свойству касательной и секущей

Угол $\angle TAM=\angle BAC=\alpha \text{,}$ причём $\cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}\text{.}$

Найдём $TM$ и $TN$ по теореме косинусов.

В треугольнике $ATM$ ($AT=6\sqrt{7}\text{,}$ $AM=12$):

В треугольнике $ATN$ ($AT=6\sqrt{7}\text{,}$ $AN=21$):

Точки $T\text{,}$ $M\text{,}$ $N$ лежат на окружности, $MN=21-12=9\text{.}$ Найдём $\angle MTN$ по теореме косинусов в треугольнике $MTN\text{:}$

Тогда

$MN$ — хорда окружности, стягивающая вписанный угол $\angle MTN\text{.}$ По теореме синусов (обобщённой)

Проверка. Расстояние от центра $O$ до хорды $MN\text{:}$ $d=\sqrt{R^2-(MN/2{)}^2}=\sqrt{64-20,25}=2,5\sqrt{7}\text{;}$ тогда $R^2=d^2+(MN/2{)}^2=43,75+20,25=64$ — согласовано.

Ответ: $8\text{.}$