Задача №20579

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD\text{,}$ если $AB=12\text{,}$ а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 8 и 6.

Проведём радиусы окружности в концы хорд и перпендикуляры из центра $O$ к каждой хорде. Перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит её пополам.

Шаг 1. Найдём радиус по хорде $AB\text{.}$

Пусть $H$ — основание перпендикуляра из центра $O$ на хорду $AB\text{.}$ Тогда $OH=8$ и $AH=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $OHA$ по теореме Пифагора:

откуда $R=10\text{.}$

Шаг 2. Найдём хорду $CD\text{.}$

Пусть $K$ — основание перпендикуляра из центра $O$ на хорду $CD\text{,}$ тогда $OK=6\text{,}$ а $CK=\frac{CD}{2}\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $OKC$ по теореме Пифагора:

поэтому $CK=8$ и $CD=2\cdot CK=16\text{.}$

Ответ: $16\text{.}$