Задача №20284

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD\text{,}$ если $AB=18\text{,}$ а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 12 и 9.

Радиус окружности перпендикулярен хорде, проведённый в её середину, поэтому расстояние от центра до хорды делит хорду пополам и образует прямоугольный треугольник: катеты — расстояние до хорды и половина хорды, гипотенуза — радиус $R\text{.}$

Найдём радиус по хорде $AB\text{.}$

Половина хорды $AB$ равна $\frac{18}{2}=9\text{,}$ расстояние от центра до неё равно $12\text{.}$ По теореме Пифагора:

Найдём хорду $CD\text{.}$

Расстояние от центра до хорды $CD$ равно $9\text{.}$ Половина хорды:

Значит $CD=2\cdot 12=24\text{.}$

Ответ: $CD=24\text{.}$