Задача №20710

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M\text{,}$ $AD=81\text{,}$ $MD=9\text{,}$
$H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC\text{.}$ Найдите $AH\text{.}$

Дано: остроугольный треугольник $ABC\text{,}$ $AD$ — высота (то есть $AD\perp BC\text{,}$ $D\in BC$). На $BC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая $AD$ в точке $M\text{.}$ $AD=81\text{,}$ $MD=9\text{,}$ $H$ — ортоцентр (точка пересечения высот). Найти $AH\text{.}$

Шаг 1. Свойство точки $M$ на полуокружности.
Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BC\text{,}$ значит вписанный угол $\angle BMC$ опирается на диаметр и $\angle BMC=90^{\circ }\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $BMC$ отрезок $MD$ — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу $BC$ (ведь $M\in AD$ и $AD\perp BC\text{,}$ поэтому $MD\perp BC$). По свойству высоты прямоугольного треугольника она есть среднее геометрическое проекций катетов:

Шаг 2. Связь ортоцентра с основанием высоты.
Пусть $B{H}_1$ — высота из вершины $B$ (она проходит через $H$), тогда $\angle DBH=90^{\circ }-\angle C\text{,}$ а из прямоугольного треугольника $BDH$ ($\angle BDH=90^{\circ }$):

Из прямоугольного треугольника $ADC\text{:}$ $AD=DC\cdot \tan C\text{,}$ откуда $DC=\frac{AD}{\tan C}=AD\cdot \cot C$… — удобнее перемножить:

Таким образом

Шаг 3. Объединяем.
Из шагов 1 и 2 получаем $HD\cdot AD=M{D}^2\text{,}$ значит

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри него, то есть на отрезке $AD$ между $A$ и $D\text{,}$ поэтому

Проверка. Поместим $D$ в начало координат, $B=(-b;0)\text{,}$ $C=(c;0)\text{,}$ $A=(0;h)\text{.}$ Для ортоцентра $H=(0;y_H)$ из условия $BH\perp AC$ следует $y_H=\frac{bc}{h}\text{,}$ то есть $HD=\frac{bc}{h}$ и $HD\cdot AD=bc=BD\cdot DC\text{.}$ Для точки $M=(0;m)$ на полуокружности $m^2=bc\text{,}$ то есть $M{D}^2=BD\cdot DC\text{.}$ Значит $HD=\frac{M{D}^2}{AD}=\frac{81}{81}=1$ и $AH=80$ — совпадает.

Ответ: $AH=80\text{.}$