Задача №20657

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD\text{,}$ если $BC=18\text{,}$ а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $132^{\circ }$ и $93^{\circ }\text{.}$

Ключевая идея. По условию $M$ — середина стороны $AD\text{,}$ значит $MA=MD=\frac{1}{2}AD\text{.}$ При этом $M$ равноудалена от всех вершин: $MA=MB=MC=MD=R\text{.}$ Следовательно, все четыре вершины лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $R\text{,}$ а отрезок $AD$ — её диаметр ($AD=2R$).

Дуги. Пусть точки идут по окружности в порядке $A,B,C,D\text{.}$ Обозначим дуги $⌣AB=a\text{,}$ $⌣BC=b\text{,}$ $⌣CD=c\text{.}$ Так как $AD$ — диаметр, полуокружность, содержащая $B$ и $C\text{,}$ равна $180^{\circ }\text{:}$

Вписанные углы. Угол $B=\angle ABC$ опирается на дугу $ADC$ (не содержащую $B$), равную $180^{\circ }+c\text{:}$

Угол $C=\angle BCD$ опирается на дугу $BAD$ (не содержащую $C$), равную $a+180^{\circ }\text{:}$

Тогда $b=180^{\circ }-a-c=180^{\circ }-6^{\circ }-84^{\circ }=90^{\circ }.$

Хорда $BC\text{.}$ Центральный угол $\angle BMC\text{,}$ опирающийся на дугу $BC\text{,}$ равен $b=90^{\circ }\text{.}$ Значит треугольник $BMC$ прямоугольный и равнобедренный с катетами $MB=MC=R\text{:}$

По условию $BC=18\text{,}$ поэтому $R\sqrt{2}=18\text{,}$ откуда $R=9\sqrt{2}$ и

Проверка. Углы четырёхугольника: $\angle A=\frac{b+c}{2}=\frac{90^{\circ }+84^{\circ }}{2}=87^{\circ }\text{,}$ $\angle D=\frac{a+b}{2}=\frac{6^{\circ }+90^{\circ }}{2}=48^{\circ }\text{.}$ Сумма: $87^{\circ }+48^{\circ }+132^{\circ }+93^{\circ }=360^{\circ }$ — верно.

Ответ: $AD=18\sqrt{2}\text{.}$