На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=80, MD=64, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
Точка D — основание высоты AD, поэтому AD⊥BC и D лежит на BC.
Шаг 1. Найдём BD⋅DC через полуокружность.
Точка M лежит на полуокружности, построенной на BC как на диаметре, и одновременно на прямой AD, то есть на перпендикуляре к BC, восставленном в точке D. Хорда MD перпендикулярна диаметру BC, значит MD — половина хорды, а по свойству перпендикуляра из точки диаметра до окружности:
Шаг 2. Свяжем BD⋅DC с высотой и ортоцентром.
Пусть H′ — точка, симметричная ортоцентру H относительно прямой BC. Известно, что H′ лежит на описанной окружности треугольника ABC, причём H лежит на высоте AD, поэтому точки A, H, D, H′ лежат на одной прямой, а DH′=DH.
Для точки D, лежащей внутри описанной окружности, по свойству пересекающихся хорд (степень точки):
BD⋅DC=AD⋅DH′=AD⋅DH.Шаг 3. Приравниваем и находим DH.
Из шагов 1 и 2:
Шаг 4. Находим AH.
Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри него, значит H находится между A и D на высоте, поэтому
Ответ: 28,8.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ