Задача №20553

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD\text{,}$ если $BC=19\text{,}$ а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $95^{\circ }$ и $115^{\circ }\text{.}$

Точка $M$ равноудалена от всех вершин: $MA=MB=MC=MD=R\text{.}$ Значит, все четыре вершины лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $R\text{.}$ Поскольку $M$ — середина стороны $AD\text{,}$ точки $A$ и $D$ — концы диаметра, и $AD=2R\text{.}$

Прямые углы (теорема Фалеса). Вписанный угол, опирающийся на диаметр $AD\text{,}$ прямой, поэтому

Диагонали $BD$ и $AC$ проходят внутри выпуклого четырёхугольника, поэтому

Дуги. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается:

• угол $\angle DBC=5^{\circ }$ опирается на дугу $DC\text{,}$ значит $⌣DC=10^{\circ }\text{;}$
• угол $\angle ACB=25^{\circ }$ опирается на дугу $AB\text{,}$ значит $⌣AB=50^{\circ }\text{.}$

Точки $B$ и $C$ лежат на полуокружности над диаметром $AD\text{,}$ поэтому

Длина хорды $BC\text{.}$ Вписанный угол, опирающийся на хорду $BC\text{,}$ равен $\frac{1}{2}⌣BC=60^{\circ }$ (например, $\angle BAC=60^{\circ }$). По теореме синусов в этой окружности

Отсюда $R\sqrt{3}=19\text{,}$ то есть $R=\frac{19}{\sqrt{3}}\text{,}$ и

Ответ: $AD=\frac{38\sqrt{3}}{3}\approx 21,9\text{.}$