Задача №20709

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C\text{.}$ Найдите длину отрезка $KP\text{,}$ если $AP=30\text{,}$ а сторона $BC$ в 1,2 раза меньше стороны $AB\text{.}$

Окружность проходит через точки $B\text{,}$ $C\text{,}$ $K\text{,}$ $P\text{,}$ поэтому четырёхугольник $KPCB$ вписанный. У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^{\circ }\text{:}$

Угол $\angle AKP$ смежный с углом $\angle BKP\text{,}$ значит

Рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB\text{:}$ у них общий угол $A\text{,}$ а $\angle AKP=\angle ACB\text{.}$ Значит, по двум углам

(соответствие вершин $A\leftrightarrow A\text{,}$ $K\leftrightarrow C\text{,}$ $P\leftrightarrow B$). Из подобия следует пропорциональность сторон:

По условию сторона $BC$ в $1,2$ раза меньше стороны $AB\text{,}$ то есть $CB=\frac{AB}{1,2}\text{.}$ Тогда

Ответ: $25\text{.}$