Задача №20444

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M\text{,}$ $AD=72\text{,}$ $MD=18\text{,}$
$H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC\text{.}$ Найдите $AH\text{.}$

1. Точка $M$ на полуокружности.

Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BC\text{,}$ поэтому вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой: $\angle BMC=90^{\circ }\text{.}$

2. Соотношение в прямоугольном треугольнике $BMC\text{.}$

Высота $AD$ перпендикулярна $BC\text{,}$ а $D\in BC\text{,}$ значит $MD\perp BC\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $BMC$ отрезок $MD$ — высота, опущенная из вершины прямого угла $M$ на гипотенузу $BC\text{.}$ По свойству (среднее геометрическое):

Отсюда $BD\cdot DC=18^2=324.$

3. Ортоцентр и подобие.

Пусть $BH$ — высота из вершины $B$ (перпендикулярна $AC$). Тогда $\angle HBD=90^{\circ }-\angle C\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $ADC$ также $\angle DAC=90^{\circ }-\angle C\text{.}$ Значит $\angle HBD=\angle DAC\text{.}$

Треугольники $BDH$ и $ADC$ прямоугольные ($\angle BDH=\angle ADC=90^{\circ }$) и имеют равные острые углы, поэтому $△BDH\sim △ADC\text{.}$ Из подобия:

4. Находим $HD$ и $AH\text{.}$

Треугольник остроугольный, ортоцентр $H$ лежит внутри, на отрезке $AD\text{,}$ поэтому

Ответ: $AH=67,5\text{.}$