Задача №20416

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC\text{,}$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN\text{,}$ если $MN=22\text{,}$ $AC=55\text{,}$ $NC=36\text{.}$

Прямая $MN$ параллельна стороне $AC\text{,}$ поэтому она отсекает от треугольника $ABC$ подобный ему треугольник $BMN$ (по двум углам: $\angle B$ общий, а $\angle BNM=\angle BCA$ как соответственные при $MN\parallel AC$ и секущей $BC$).

Из подобия $△BMN\sim △BAC$ следует пропорциональность сходственных сторон:

Обозначим $BN=x\text{.}$ Так как $N$ лежит на стороне $BC\text{,}$ то $BC=BN+NC=x+36\text{.}$ Подставляем:

Отсюда $5x=2(x+36)\text{,}$ то есть $5x=2x+72\text{,}$ $3x=72\text{,}$ $x=24\text{.}$

Проверка: $BC=24+36=60\text{,}$ и $\frac{BN}{BC}=\frac{24}{60}=\frac{2}{5}=\frac{MN}{AC}$ — верно.

Ответ: $BN=24\text{.}$