Задача №20708

Постройте график функции

$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2+4x+4& \text{при}x⩾-5,\\ -\frac{45}{x}& \text{при}x<-5,\end{array}$

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Разбираем график по кускам.

Первый кусок (при $x⩾-5$): $y=x^2+4x+4=(x+2{)}^2$ — парабола ветвями вверх с вершиной в точке $(-2;0)\text{.}$ Левый конец куска: при $x=-5$ получаем $y=(-5+2{)}^2=9\text{,}$ точка $(-5;9)$ входит в график (закрашена). Значит рисуем часть параболы от точки $(-5;9)$ вниз до вершины $(-2;0)$ и дальше вверх.

Второй кусок (при $x<-5$): $y=-\frac{45}{x}$ — ветвь гиперболы. Так как $x<0\text{,}$ значения $y>0\text{.}$ При приближении $x\to -5^{-}$ имеем $y\to -\frac{45}{-5}=9$ (точка $(-5;9)$ — выколота), а при $x\to -\infty$ значение $y\to 0^{+}\text{.}$ Функция монотонно возрастает по $x\text{,}$ поэтому на этом куске $y$ пробегает все значения из промежутка $(0;9)\text{,}$ каждое ровно один раз.

Считаем число общих точек прямой $y=m$ с графиком.

Число точек с параболой $(x+2{)}^2=m$ при $x⩾-5\text{:}$ корни $x=-2\pm \sqrt{m}\text{.}$ Левый корень $x=-2-\sqrt{m}$ допустим лишь при $-2-\sqrt{m}⩾-5\text{,}$ т.е. $\sqrt{m}⩽3\text{,}$ $m⩽9\text{.}$

• $m<0\text{:}$ точек с параболой нет.
• $m=0\text{:}$ одна точка (вершина $x=-2$).
• $0<m<9\text{:}$ две точки с параболой (оба корня подходят).
• $m=9\text{:}$ две точки — $x=-5$ и $x=1\text{.}$
• $m>9\text{:}$ одна точка (только правая ветвь $x=-2+\sqrt{m}$).

Число точек с гиперболой: одна при $0<m<9$ и ни одной при $m⩽0$ или $m⩾9$ (значение $9$ выколото).

Складываем:

Одну общую точку прямая $y=m$ имеет при $m=0$ и при $m>9\text{;}$ две общие точки — при $m=9\text{.}$

Ответ: одна общая точка при $m=0$ и $m>9\text{;}$ две общие точки при $m=9\text{.}$