Постройте график функции y=cases -x^(2)-2x+2, & x -3, -x-2, & x<-3. cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Разбираем куски функции. При x -3 график — часть параболы y=-x^(2)-2x+2=-(x+1)^(2)+3 . Это парабола ветвями вниз с вершиной (-1;3). Крайняя левая точка куска: при x=-3 получаем y=-(-3+1)^(2)+3=-1, то есть точка (-3;-1) включена. На отрезке [-3;-1] функция возрастает от -1 до 3, при x -1 убывает от 3 до -inf. При x<-3 график — луч прямой y=-x-2. При x -3^(-) имеем y 1, точка (-3;1) выколота; при x-inf значение y+inf. Значит луч даёт ровно по одной точке для каждого y>1 и ни одной при y 1. Сколько точек даёт парабола при высоте y=m. m>3 — нет точек; m=3 — одна точка (вершина); -1 m<3 — две точки (по одной на возрастающей и на убывающей ветви; при m=-1 это x=-3 и x=1); m<-1 — одна точка (только правая ветвь). Складываем с лучом. | m | парабола | луч | всего | |---|---|---|---| | m>3 | 0 | 1 | 1 | | m=3 | 1 | 1 | 2 | | 1<m<3 | 2 | 1 | 3 | | m=1 | 2 | 0 | 2 | | -1 m<1 | 2 | 0 | 2 | | m<-1 | 1 | 0 | 1 | Проверка граничных значений: при m=1 уравнение -(x+1)^(2)+3=1 даёт x=-1+-2 (обе точки удовлетворяют x-3), а на луче -x-2=1 даёт x=-3, что не входит в область x<-3 — ровно 2 точки. Итак, ровно две общие точки прямая y=m имеет при -1 m 1 и при m=3. Ответ: -1 m 1; m=3.

\(-1 \le m \le 1;\ m = 3\)