Постройте график функции
y={−x2−2x+2,−x−2,x⩾−3,x<−3.Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
1. Разбираем куски функции.
При x⩾−3 график — часть параболы
y=−x2−2x+2=−(x+1)2+3.Это парабола ветвями вниз с вершиной (−1;3). Крайняя левая точка куска: при x=−3 получаем y=−(−3+1)2+3=−1, то есть точка (−3;−1) включена.
На отрезке [−3;−1] функция возрастает от −1 до 3, при x⩾−1 убывает от 3 до −∞.
При x<−3 график — луч прямой y=−x−2. При x→−3− имеем y→1, точка (−3;1) выколота; при x→−∞ значение y→+∞. Значит луч даёт ровно по одной точке для каждого y>1 и ни одной при y⩽1.
2. Сколько точек даёт парабола при высоте y=m.
3. Складываем с лучом.
| m | парабола | луч | всего |
|---|---|---|---|
| m>3 | 0 | 1 | 1 |
| m=3 | 1 | 1 | 2 |
| 1<m<3 | 2 | 1 | 3 |
| m=1 | 2 | 0 | 2 |
| −1⩽m<1 | 2 | 0 | 2 |
| m<−1 | 1 | 0 | 1 |
Проверка граничных значений: при m=1 уравнение −(x+1)2+3=1 даёт x=−1±2 (обе точки удовлетворяют x⩾−3), а на луче −x−2=1 даёт x=−3, что не входит в область x<−3 — ровно 2 точки.
Итак, ровно две общие точки прямая y=m имеет при −1⩽m⩽1 и при m=3.
Ответ: −1⩽m⩽1; m=3.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Функции и начала анализа
ФИПИ