Задача №19710

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}-x^2+6x-9,& x⩾2,\\ -x,& x<2.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Разбираем функцию по кускам.

При $x⩾2\text{:}$ $y=-x^2+6x-9=-(x-3{)}^2$ — часть параболы с ветвями вниз и вершиной $(3;0)\text{.}$ Левый конец куска: при $x=2$ получаем $y=-(2-3{)}^2=-1\text{,}$ точка $(2;-1)$ принадлежит графику (закрашена). На $[2;3]$ функция возрастает от $-1$ до $0\text{,}$ на $[3;+\infty )$ убывает от $0$ до $-\infty \text{.}$

При $x<2\text{:}$ $y=-x$ — луч прямой без концевой точки $(2;-2)$ (выколота). Он убывает, значения пробегают промежуток $(-2;+\infty )\text{,}$ каждое ровно один раз.

2. Считаем общие точки с прямой $y=m\text{.}$

Луч $y=-x,x<2$ даёт:

• ровно одну точку при $m>-2\text{;}$
• ни одной при $m⩽-2\text{.}$

Парабола $y=-(x-3{)}^2,x⩾2\text{:}$ из $-(x-3{)}^2=m$ получаем $(x-3{)}^2=-m\text{,}$ то есть $x=3\pm \sqrt{-m}$ (при $m⩽0$). Условие $x⩾2$ для меньшего корня даёт $3-\sqrt{-m}⩾2\text{,}$ то есть $\sqrt{-m}⩽1\text{,}$ то есть $m⩾-1\text{.}$ Значит:

• при $m>0$ — точек нет;
• при $m=0$ — одна точка ($x=3\text{,}$ вершина);
• при $-1⩽m<0$ — две точки;
• при $m<-1$ — одна точка ($x=3+\sqrt{-m}$).

3. Складываем.

Ровно две общие точки получаются при $m=0$ и при $-2<m<-1\text{.}$

Ответ: $m=0\text{;}$ $-2<m<-1\text{.}$