Постройте график функции y=cases -x^(2)+6x-9, & x 2, -x, & x<2. cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Разбираем функцию по кускам. При x 2: y=-x^(2)+6x-9=-(x-3)^(2) — часть параболы с ветвями вниз и вершиной (3;0). Левый конец куска: при x=2 получаем y=-(2-3)^(2)=-1, точка (2;-1) принадлежит графику (закрашена). На [2;3] функция возрастает от -1 до 0, на [3;+inf) убывает от 0 до -inf. При x<2: y=-x — луч прямой без концевой точки (2;-2) (выколота). Он убывает, значения пробегают промежуток (-2;+inf), каждое ровно один раз. Считаем общие точки с прямой y=m. Луч y=-x, x<2 даёт: ровно одну точку при m>-2; ни одной при m -2. Парабола y=-(x-3)^(2), x 2: из -(x-3)^(2)=m получаем (x-3)^(2)=-m, то есть x=3+-sqrt(-m) (при m 0). Условие x 2 для меньшего корня даёт 3-sqrt(-m) 2, то есть sqrt(-m) 1, то есть m -1. Значит: при m>0 — точек нет; при m=0 — одна точка (x=3, вершина); при -1 m<0 — две точки; при m<-1 — одна точка (x=3+sqrt(-m)). Складываем. | m | луч | парабола | всего | |---|---|---|---| | m>0 | 1 | 0 | 1 | | m=0 | 1 | 1 | 2 | | -1 m<0 | 1 | 2 | 3 | | -2<m<-1 | 1 | 1 | 2 | | m -2 | 0 | 1 | 1 | Ровно две общие точки получаются при m=0 и при -2<m<-1. Ответ: m=0; -2<m<-1.

m = 0; -2 < m < -1