Задача №20707

На клетчатой бумаге с размером клетки $1\times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $AB$ по данным чертежа.

На чертеже вершины треугольника попадают в узлы сетки: вершина $P=(6;1)\text{,}$ левое основание $L=(1;7)\text{,}$ правое основание $R=(7;7)\text{.}$ Основание $LR$ горизонтально и имеет длину $|LR|=7-1=6\text{.}$

Отрезок $AB$ проходит по линии сетки $y=4\text{.}$ Найдём точки $A$ и $B$ как пересечения сторон с этой линией.

Сторона $PL$ идёт из $(6;1)$ в $(1;7)\text{.}$ Её середина: $\left(\frac{6+1}{2};\frac{1+7}{2}\right)=(3,5;4)$ — это точка $A\text{.}$

Сторона $PR$ идёт из $(6;1)$ в $(7;7)\text{.}$ Её середина: $\left(\frac{6+7}{2};\frac{1+7}{2}\right)=(6,5;4)$ — это точка $B\text{.}$

Значит $A$ и $B$ — середины боковых сторон, а $AB$ — средняя линия треугольника, параллельная основанию $LR\text{.}$ По свойству средней линии

$$AB=\frac{1}{2}LR=\frac{1}{2}\cdot 6=3.$$

Проверка. Точки $A(3,5;4)$ и $B(6,5;4)$ лежат на одной горизонтали, поэтому $AB=6,5-3,5=3\text{.}$ Результат совпадает.

Ответ: $3\text{.}$