Задача №20704

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD\text{,}$ пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF\text{,}$ если $AD=25\text{,}$ $BC=15\text{,}$ $CF:DF=3:2\text{.}$

Прямая $EF$ параллельна основаниям $AD=25$ и $BC=15$ и пересекает боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F\text{.}$

Шаг 1. Разложим отрезок $EF$ на две части.
Проведём через вершину $B$ прямую, параллельную боковой стороне $CD\text{.}$ Пусть она пересекает $EF$ в точке $P\text{,}$ а основание $AD$ — в точке $K\text{.}$ Тогда $BCFP$ и $BPKD\text{.}$..

Проще воспользоваться стандартным приёмом. Проведём диагональ $BD\text{;}$ пусть она пересекает $EF$ в точке $G\text{.}$

Шаг 2. Отношение, в котором $F$ делит боковую сторону.
По условию $CF:DF=3:2\text{,}$ значит $DF:DC=2:5\text{,}$ то есть точка $F$ отстоит от нижнего основания $D$ на $\frac{2}{5}$ длины боковой стороны. Так как $EF\parallel AD\parallel BC\text{,}$ прямая $EF$ отсекает на обеих боковых сторонах пропорциональные части (теорема о пропорциональных отрезках), поэтому и $E$ делит сторону $AB$ так, что $AE:AB=2:5\text{.}$

Шаг 3. Считаем $EF$ через диагональ $BD\text{.}$
В треугольнике $BAD$ отрезок $EG\parallel AD$ (часть прямой $EF$), причём $BE:BA=3:5\text{.}$ Значит $△BEG\sim △BAD$ с коэффициентом $\frac{3}{5}\text{,}$ откуда

В треугольнике $DBC$ отрезок $GF\parallel BC\text{,}$ причём $DF:DC=2:5\text{,}$ поэтому $△DGF\sim △DBC$ с коэффициентом $\frac{2}{5}\text{,}$ откуда

Шаг 4. Итог.

Проверка (линейная интерполяция). Длина отрезка, параллельного основаниям и делящего боковую сторону от нижнего основания в доле $s\text{,}$ равна $AD(1-s)+BCs\text{.}$ Здесь $s=\frac{DF}{DC}=\frac{2}{5}\text{,}$ поэтому $EF=25\cdot \frac{3}{5}+15\cdot \frac{2}{5}=15+6=21\text{.}$ Совпадает.

Ответ: $EF=21\text{.}$