Задача №20346

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K\text{.}$ Найдите площадь параллелограмма, если $BC=19\text{,}$ а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 10.

Обозначим углы параллелограмма при вершинах $A$ и $B$ через $2\alpha$ и $2\beta \text{.}$ У параллелограмма соседние углы в сумме дают $180^{\circ }\text{,}$ поэтому $2\alpha +2\beta =180^{\circ }\text{,}$ откуда $\alpha +\beta =90^{\circ }\text{.}$

Угол между биссектрисами. Биссектрисы делят углы пополам, значит в треугольнике $ABK\text{:}$

Значит треугольник $ABK$ прямоугольный с прямым углом при $K\text{,}$ а $AB$ — его гипотенуза.

Высота к гипотенузе. Расстояние от $K$ до стороны $AB$ — это высота $h_K=10\text{,}$ опущенная из прямого угла на гипотенузу. Обозначим $AB=a\text{.}$ Катеты равны

(так как $\beta =90^{\circ }-\alpha$). Высота к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

Отсюда $\frac{a}{2}\sin 2\alpha =10\text{,}$ то есть $a\sin 2\alpha =20\text{.}$

Площадь. Высота параллелограмма, опущенная на сторону $AB\text{,}$ равна

Так как $\sin 2\beta =\sin (180^{\circ }-2\alpha )=\sin 2\alpha \text{,}$ то $h=19\sin 2\alpha \text{.}$ Тогда

Ответ: $380\text{.}$