Задача №20703

Решите уравнение $x^2-6x+\sqrt{6-x}=\sqrt{6-x}+7\text{.}$

Найдём область допустимых значений: подкоренное выражение неотрицательно, $6-x\ge 0\text{,}$ то есть $x\le 6\text{.}$

В обеих частях уравнения есть одинаковое слагаемое $\sqrt{6-x}\text{.}$ Вычтем его из обеих частей:

Получаем квадратное уравнение

По теореме Виета (или через дискриминант $D=36+28=64$) корни:

Проверяем ОДЗ ($x\le 6$): корень $x_1=7$ не подходит, корень $x_2=-1$ подходит.

Проверка $x=-1\text{:}$ $6-x=7\text{,}$ слева $1+6+\sqrt{7}=7+\sqrt{7}\text{,}$ справа $\sqrt{7}+7$ — равенство верно.

Ответ: $-1\text{.}$