Задача №20702

Решите неравенство $\frac{x^2-8x+15}{x-3}\le 0.$

Область допустимых значений. Знаменатель не должен обращаться в ноль: $x-3\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne 3\text{.}$

Разложим числитель на множители. Корни квадратного трёхчлена $x^2-8x+15$ по теореме Виета: $x_1=3\text{,}$ $x_2=5$ (сумма $3+5=8\text{,}$ произведение $3\cdot 5=15$). Значит

Упростим дробь. При $x\ne 3$ можно сократить на $x-3\text{:}$

Поэтому исходное неравенство при $x\ne 3$ равносильно

Учтём ОДЗ. Из $x\le 5$ исключаем точку $x=3\text{:}$

Ответ: $(-\infty ;3)\cup (3;5]\text{.}$