Решите неравенство (x^2 + 2x - 15)(x^2 - 4x + 3) <= 0.

Задача №18797: Уравнения, неравенства и их системы

Разложим каждый квадратный трёхчлен на множители.

$x^{2} + 2 x - 15 = (x + 5) (x - 3)$ (корни $- 5$ и $3$ ).

$x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)$ (корни $1$ и $3$ ).

Тогда неравенство принимает вид:

(x + 5) (x - 3) (x - 1) (x - 3) \leq 0,

то есть

(x + 5) (x - 1) (x - 3)^{2} \leq 0.

Множитель $(x - 3)^{2} \geq 0$ при всех $x$ и обращается в нуль только при $x = 3 .$ Поэтому:

при $x = 3$ левая часть равна $0$ — неравенство выполнено;
при $x \neq = 3$ имеем $(x - 3)^{2} > 0,$ и знак произведения совпадает со знаком $(x + 5) (x - 1) .$

Решим $(x + 5) (x - 1) \leq 0 .$ Это парабола с корнями $- 5$ и $1,$ ветви вверх, поэтому неравенство выполнено при $- 5 \leq x \leq 1 .$

Объединяя с отдельной точкой $x = 3,$ получаем:

x \in [- 5; 1] \cup {3} .

Ответ: $[- 5; 1] \cup {3} .$