Задача №19979

Решите неравенство $\frac{2x^2-8x+8}{x+5}\le 0\text{.}$

Разложим числитель на множители: $2x^2-8x+8=2(x^2-4x+4)=2(x-2{)}^2\text{.}$

Неравенство принимает вид

Область допустимых значений: $x+5\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne -5\text{.}$

Числитель $2(x-2{)}^2\ge 0$ при всех $x$ и обращается в нуль только при $x=2\text{.}$ Значит знак дроби (при $x\ne 2$) совпадает со знаком знаменателя $x+5\text{.}$

1) Равенство нулю. Дробь равна $0\text{,}$ когда числитель равен нулю: $x=2\text{.}$ Знаменатель при этом $2+5=7\ne 0\text{,}$ значит $x=2$ подходит.

2) Строгое неравенство. Дробь отрицательна, когда числитель положителен ($x\ne 2$), а знаменатель отрицателен:

При $-5<x$ (и $x\ne 2$) знаменатель положителен, дробь положительна — не подходит; при $x=-5$ дробь не определена.

Объединяя оба случая, получаем $x<-5$ или $x=2\text{.}$

Ответ: $(-\infty ;-5)\cup \{2\}\text{.}$