Задача №19788

Решите неравенство $\frac{3x^2-12x+12}{x+3}\le 0\text{.}$

Разложим числитель на множители:

Неравенство принимает вид

Множитель $3(x-2{)}^2\ge 0$ при всех $x$ и обращается в нуль только при $x=2\text{.}$

1) Равенство нулю. Дробь равна $0\text{,}$ когда числитель равен $0\text{,}$ а знаменатель нет: $x=2$ (при этом $x+3=5\ne 0$). Значение $x=2$ подходит.

2) Строгое неравенство $<0\text{.}$ При $x\ne 2$ числитель положителен, поэтому дробь отрицательна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен:

Объединяя оба случая, получаем $x<-3$ или $x=2\text{.}$

Проверка. При $x=-4\text{:}$ $\frac{3(-4-2{)}^2}{-4+3}=\frac{108}{-1}=-108<0$ — верно. При $x=0\text{:}$ $\frac{3\cdot 4}{3}=4>0$ — не входит. При $x=2\text{:}$ числитель $0\text{,}$ дробь $=0\le 0$ — верно.

Ответ: $x<-3$ или $x=2\text{.}$