Задача №20701

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC\text{.}$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{.}$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 13, 8 и 5. Найдите площадь параллелограмма $ABCD\text{.}$

Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{,}$ значит $O$ равноудалена от всех трёх сторон этого треугольника, и это расстояние равно радиусу вписанной окружности $r\text{.}$ Прямая $AC$ — сторона треугольника, поэтому расстояние от $O$ до $AC$ равно радиусу:

Касательная из вершины $A\text{.}$ Опустим из $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AC\text{;}$ точка $H$ — точка касания вписанной окружности со стороной $AC\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $AOH$ имеем $OH=r=5\text{,}$ $AO=13\text{,}$ поэтому

Отрезок касательной от вершины $A$ до точки касания равен $s-BC\text{,}$ где $s$ — полупериметр треугольника $ABC\text{.}$ Значит

Высота из вершины $A\text{.}$ В параллелограмме $AD\parallel BC\text{.}$ Точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC\text{,}$ то есть между прямой $BC$ и параллельной ей прямой $AD\text{,}$ проходящей через вершину $A\text{.}$ Поэтому расстояние между прямыми $AD$ и $BC$ равно сумме расстояний от $O$ до этих прямых:

Так как $A$ лежит на прямой $AD\text{,}$ расстояние от вершины $A$ до прямой $BC$ (высота треугольника $ABC\text{,}$ проведённая к стороне $BC$) равно $h_A=13\text{.}$

Площадь треугольника. Запишем площадь двумя способами. Через основание и высоту:

Через радиус вписанной окружности и полупериметр:

Приравниваем:

Тогда

Площадь параллелограмма. Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равных треугольника $ABC$ и $CDA\text{,}$ поэтому

Ответ: $520\text{.}$