Задача №20083

Точка $H$ является основанием высоты $BH\text{,}$ проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC\text{.}$ Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $BH\text{,}$ если $PK=15\text{.}$

Ключевая идея. Отрезок $BH$ — диаметр окружности, поэтому вписанные углы, опирающиеся на него, прямые.

Шаг 1. Углы при $P$ и $K\text{.}$ Точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH\text{,}$ значит углы $BPH$ и $BKH$ опираются на диаметр:

Шаг 2. Четырёхугольник $BPHK$ — прямоугольник. В четырёхугольнике $BPHK\text{:}$

• $\angle PBK=\angle ABC=90^{\circ }$ (это прямой угол исходного треугольника $ABC\text{,}$ а $P\in AB\text{,}$ $K\in CB$);
• $\angle BPH=90^{\circ }$ (Шаг 1);
• $\angle BKH=90^{\circ }$ (Шаг 1).

Три угла прямые, значит и четвёртый угол при вершине $H$ равен $90^{\circ }\text{.}$ Следовательно, $BPHK$ — прямоугольник.

Шаг 3. Диагонали. В прямоугольнике диагонали равны. Диагоналями $BPHK$ являются $BH$ и $PK\text{,}$ поэтому

Ответ: $BH=15\text{.}$