Задача №20170

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M\text{,}$ $AD=45\text{,}$ $MD=15\text{,}$ $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC\text{.}$ Найдите $AH\text{.}$

Шаг 1. Полуокружность даёт прямой угол. Точка $M$ лежит на полуокружности, построенной на $BC$ как на диаметре, значит вписанный угол $\angle BMC$ опирается на диаметр и равен $90^{\circ }\text{.}$

Шаг 2. Соотношение в прямоугольном треугольнике $BMC\text{.}$ Так как $AD$ — высота треугольника $ABC\text{,}$ то $AD\perp BC\text{,}$ а значит и $MD\perp BC$ (точка $M$ лежит на прямой $AD$). Тогда $MD$ — высота прямоугольного треугольника $BMC\text{,}$ проведённая из вершины прямого угла $M$ к гипотенузе $BC\text{.}$ По свойству высоты прямоугольного треугольника:

Подставляя $MD=15\text{,}$ получаем $BD\cdot DC=15^2=225.$

Шаг 3. Связь ортоцентра с основанием высоты. Пусть $BE$ — высота из вершины $B\text{;}$ она пересекает высоту $AD$ в ортоцентре $H\text{.}$ Рассмотрим треугольники $BDH$ и $ADC\text{:}$

• $\angle BDH=\angle ADC=90^{\circ }$ (обе высоты перпендикулярны $BC$);
• $\angle DBH=90^{\circ }-\angle C$ (в прямоугольном треугольнике $BDE\text{.}$.. точнее $BE\perp AC$), и $\angle DAC=90^{\circ }-\angle C$ (в прямоугольном треугольнике $ADC$), поэтому $\angle DBH=\angle DAC\text{.}$

Следовательно, $△BDH\sim △ADC$ по двум углам. Из подобия:

Шаг 4. Находим $DH$ и $AH\text{.}$ Из шагов 2 и 3:

Треугольник остроугольный, поэтому ортоцентр $H$ лежит внутри треугольника на отрезке $AD$ между $A$ и $D\text{.}$ Значит

Ответ: $AH=40\text{.}$