Задача №20207

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

1. Условие вписанной окружности. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. Для трапеции это значит: сумма оснований равна сумме боковых сторон. Обозначим основания $a$ (большее) и $b$ (меньшее), боковую сторону $c\text{.}$ Трапеция равнобедренная, поэтому обе боковые стороны равны $c\text{,}$ и

2. Стороны трапеции. Периметр $a+b+2c=20\text{.}$ Подставляя $a+b=2c\text{,}$ получаем $2c+2c=20\text{,}$ откуда $c=5$ и $a+b=10\text{.}$

3. Высота. Площадь трапеции $S=\frac{a+b}{2}\cdot h\text{.}$ Так как $\frac{a+b}{2}=5\text{,}$ то $5h=20\text{,}$ откуда $h=4\text{.}$

4. Основания. В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна $\frac{a-b}{2}\text{,}$ и по теореме Пифагора $c^2=h^2+{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2\text{:}$

Вместе с $a+b=10$ получаем $a=8\text{,}$ $b=2\text{.}$

5. Точка пересечения диагоналей. Диагонали трапеции при пересечении в точке $O$ образуют два подобных треугольника: с основанием $b$ (меньшее основание) и с основанием $a$ (большее основание) — они подобны по двум углам (вертикальные углы и накрест лежащие при параллельных основаниях). Коэффициент подобия равен $\frac{b}{a}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\text{.}$ Высоты этих треугольников из точки $O$ пропорциональны основаниям: если $h_1$ — расстояние от $O$ до меньшего основания, а $h_2$ — до большего, то

Отсюда $h_1=\frac{1}{1+4}\cdot 4=\frac{4}{5}=0,8\text{.}$

Ответ: $0,8\text{.}$