Задача №20698

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K\text{.}$ Найдите периметр параллелограмма, если $BK=5\text{,}$ $CK=14\text{.}$

Биссектриса угла $A$ делит угол $DAB$ пополам, поэтому $\angle BAK=\angle KAD\text{.}$

В параллелограмме $AD\parallel BC\text{,}$ а $AK$ — секущая. Углы $\angle KAD$ и $\angle AKB$ — накрест лежащие, значит $\angle AKB=\angle KAD\text{.}$

Отсюда $\angle BAK=\angle AKB\text{,}$ то есть треугольник $ABK$ равнобедренный с $AB=BK=5\text{.}$

Сторона $BC=BK+CK=5+14=19\text{,}$ и $AD=BC=19$ (противоположные стороны параллелограмма). Также $CD=AB=5\text{.}$

Периметр: $P=2(AB+BC)=2(5+19)=48\text{.}$

Ответ: $48\text{.}$