Задача №20541

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 11, а одна из диагоналей ромба равна 44. Найдите углы ромба.

Пусть $ABCD$ — ромб, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O\text{.}$ Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому $O$ — центр ромба.

Шаг 1. Половина диагонали. Пусть данная диагональ $AC=44\text{,}$ тогда $OA=\frac{44}{2}=22\text{.}$

Шаг 2. Расстояние от центра до стороны. Опустим из $O$ перпендикуляр $OH=11$ на сторону $AB\text{.}$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ (прямой угол при $O\text{,}$ так как $AC\perp BD$). Отрезок $OH$ — высота этого треугольника, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе $AB\text{.}$

Шаг 3. Находим угол. В прямоугольном треугольнике $AOH$ угол $H$ прямой, $OH=11\text{,}$ $OA=22\text{.}$ Тогда

откуда $\angle OAH=30^{\circ }\text{.}$ Но $\angle OAH=\angle OAB$ — это половина угла $A$ ромба, поскольку диагональ $AC$ делит угол ромба пополам.

Шаг 4. Углы ромба. Значит $\angle A=2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }\text{.}$ Соседний угол ромба дополняет его до $180^{\circ }$ (сумма углов при одной стороне параллелограмма): $\angle B=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }\text{.}$ Противоположные углы равны, поэтому углы ромба равны $60^{\circ },120^{\circ },60^{\circ },120^{\circ }\text{.}$

Проверка. Тогда $OB=OA\cdot \tan 30^{\circ }=\frac{22}{\sqrt{3}}\text{,}$ $AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\frac{44}{\sqrt{3}}\text{,}$ и расстояние от центра до стороны $\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{22\cdot 22/\sqrt{3}}{44/\sqrt{3}}=11$ — совпадает с условием.

Ответ: углы ромба равны $60^{\circ }$ и $120^{\circ }\text{.}$