Задача №20514

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 16, а одна из диагоналей ромба равна 64. Найдите углы ромба.

Пусть $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому $O$ — середина каждой диагонали.

Пусть диагональ $AC=64\text{,}$ тогда $AO=OC=32\text{.}$ Обозначим половину второй диагонали $OB=OD=q\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ с прямым углом при вершине $O$ (катеты $AO=32$ и $OB=q\text{,}$ гипотенуза — сторона ромба $AB$). Опустим из $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AB\text{:}$ по условию $OH=16$ — это высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе.

Высота прямоугольного треугольника из вершины прямого угла равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

Подставим известные величины:

Разделим на $16\text{:}$ $\frac{2q}{\sqrt{1024+q^2}}=1\text{,}$ откуда $2q=\sqrt{1024+q^2}\text{.}$ Возведём в квадрат:

Теперь найдём угол ромба при вершине $A\text{.}$ Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A\text{,}$ поэтому $\angle OAB=\frac{1}{2}\angle A\text{.}$ В треугольнике $AOB\text{:}$

Значит $\angle OAB=30^{\circ }\text{,}$ и угол ромба $\angle A=2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }\text{.}$

Соседний угол ромба (сумма углов при одной стороне равна $180^{\circ }$): $\angle B=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }\text{.}$

Проверка. Сторона $AB=\sqrt{32^2+q^2}=\sqrt{1024+\frac{1024}{3}}=\frac{64}{\sqrt{3}}\text{;}$ тогда $OH=\frac{32\cdot 32/\sqrt{3}}{64/\sqrt{3}}=16$ — совпадает с условием.

Ответ: углы ромба равны $60^{\circ }$ и $120^{\circ }\text{.}$