Задача №20374

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 12, а одна из диагоналей ромба равна 48. Найдите углы ромба.

Пусть $ABCD$ — ромб с диагоналями $AC$ и $BD\text{,}$ пересекающимися в точке $O\text{.}$ Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть данная диагональ $AC=48\text{,}$ тогда $AO=24\text{.}$ Обозначим $BO=q\text{.}$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ с прямым углом $O\text{,}$ где $AO=24$ и $BO=q\text{;}$ его гипотенуза $AB$ — сторона ромба.

Расстояние от точки $O$ до стороны $AB$ — это высота $OH\text{,}$ опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу. По условию $OH=12\text{.}$

Площадь треугольника $AOB$ выразим двумя способами:

Отсюда $OH=\frac{AO\cdot BO}{AB}\text{,}$ где $AB=\sqrt{A{O}^2+B{O}^2}\text{.}$

Подставим:

Возведём в квадрат: $4q^2=576+q^2\text{,}$ значит $3q^2=576\text{,}$ $q^2=192\text{,}$ $q=\sqrt{192}=8\sqrt{3}\text{.}$

Теперь найдём углы. Диагональ $AC$ делит угол $A$ пополам, поэтому в треугольнике $AOB\text{:}$

откуда $\angle OAB=30^{\circ }\text{,}$ а угол ромба при вершине $A$ равен $\angle A=2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }\text{.}$

Соседний угол ромба: $\angle B=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }\text{.}$

Противоположные углы равны, поэтому углы ромба: $60^{\circ },120^{\circ },60^{\circ },120^{\circ }\text{.}$

Ответ: $60^{\circ }$ и $120^{\circ }\text{.}$