Задача №20695

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD\text{,}$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $60^{\circ }$ и $150^{\circ }\text{,}$ а $CD=33\text{.}$

В трапеции $ABCD$ боковые стороны — $AB$ и $CD\text{,}$ а основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC\parallel AD$).

Идея. Высота трапеции — это расстояние между основаниями. Выразим её через каждую из боковых сторон и приравняем.

Через сторону $CD\text{.}$ Угол $BCD=150^{\circ }$ — это угол между основанием $BC$ и боковой стороной $CD\text{.}$ Так как $BC\parallel AD\text{,}$ боковая сторона $CD$ образует с основанием $AD$ угол $\angle ADC=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }\text{.}$ Опустив из $C$ перпендикуляр $CH$ на прямую $AD\text{,}$ в прямоугольном треугольнике $CHD$ получаем высоту трапеции:

Через сторону $AB\text{.}$ Угол $ABC=60^{\circ }$ — угол между основанием $BC$ и боковой стороной $AB\text{.}$ Так как $BC\parallel AD\text{,}$ сторона $AB$ образует такой же угол $60^{\circ }$ с основанием $AD$ (накрест лежащие углы). Опустив из $B$ перпендикуляр на прямую $AD\text{,}$ в соответствующем прямоугольном треугольнике та же высота:

Приравниваем высоты.

Проверка. $AB\cdot \sin 60^{\circ }=11\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{11\cdot 3}{2}=16,5=CD\cdot \sin 30^{\circ }$ — высоты совпадают.

Ответ: $AB=11\sqrt{3}\text{.}$