Задача №20616

Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 4 и 5,
а основание $BC$ равно 1. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB\text{.}$ Найдите площадь трапеции.

Дано: трапеция $ABCD$ с основаниями $BC\parallel AD\text{,}$ боковые стороны $AB=4\text{,}$ $CD=5\text{,}$ основание $BC=1\text{.}$ Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину $M$ стороны $AB\text{.}$

Шаг 1. Находим большее основание $AD\text{.}$

Продолжим биссектрису $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $P\text{.}$

В треугольниках $AMD$ и $BMP\text{:}$

• $AM=MB$ ($M$ — середина $AB$);
• $\angle AMD=\angle BMP$ (вертикальные);
• $\angle DAM=\angle PBM$ (накрест лежащие при $AD\parallel BC$ и секущей $AB$).

Значит $△AMD=△BMP$ (по стороне и двум прилежащим углам), откуда $BP=AD$ и $\angle ADM=\angle BPM\text{.}$

Так как $DM$ — биссектриса, $\angle ADM=\angle MDC\text{.}$ Кроме того $\angle BPM=\angle CPD$ (точки $B$ и $C$ лежат на одном луче с началом $P$). Поэтому в треугольнике $PDC\text{:}$

то есть треугольник $PDC$ равнобедренный: $CP=CD=5\text{.}$

Поскольку точка $B$ лежит между $P$ и $C\text{,}$ имеем $CP=PB+BC=AD+1\text{.}$ Отсюда

Шаг 2. Находим высоту трапеции.

Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB\text{;}$ пусть она пересекает основание $AD$ в точке $E\text{.}$ Тогда $ABCE$ — параллелограмм, значит $CE=AB=4$ и $AE=BC=1\text{.}$ Поэтому

В треугольнике $ECD$ стороны $ED=3\text{,}$ $EC=4\text{,}$ $CD=5\text{,}$ и так как $3^2+4^2=5^2\text{,}$ угол при вершине $E$ прямой. Значит $CE\perp AD\text{,}$ то есть $CE=4$ — высота трапеции: $h=4\text{.}$

Шаг 3. Площадь.

Ответ: $10\text{.}$