Задача №19930

Углы при одном из оснований трапеции равны $53^{\circ }$ и $37^{\circ }\text{,}$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите основания трапеции.

Пусть $BCDA$ — трапеция с основаниями $BC=b$ (меньшее) и $AD=a$ (большее), а углы при основании $AD$ равны $\angle A=53^{\circ }$ и $\angle D=37^{\circ }\text{.}$

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, — это средняя линия трапеции:

Отрезок, соединяющий середины оснований. Заметим, что $\angle A+\angle D=53^{\circ }+37^{\circ }=90^{\circ }\text{.}$ Продлим боковые стороны $BA$ и $CD$ до пересечения в точке $P\text{.}$ В треугольнике $APD$ угол при вершине $P$ равен $180^{\circ }-(53^{\circ }+37^{\circ })=90^{\circ }\text{,}$ то есть треугольник прямоугольный с гипотенузой $AD\text{.}$

Пусть $N$ — середина $AD\text{,}$ $M$ — середина $BC\text{.}$ Так как $BC\parallel AD\text{,}$ точки $P\text{,}$ $M\text{,}$ $N$ лежат на одной прямой. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине:

Значит отрезок, соединяющий середины оснований, равен

Составим систему. Средняя линия всегда больше $\frac{a-b}{2}\text{,}$ поэтому большему числу $6$ отвечает средняя линия, а меньшему $2$ — отрезок между серединами оснований:

Отсюда $a+b=12$ и $a-b=4\text{,}$ то есть $a=8\text{,}$ $b=4\text{.}$

Ответ: основания трапеции равны $8$ и $4\text{.}$