Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=18, а расстояние от точки K до стороны AB равно 1.
Дано: параллелограмм ABCD, BC=AD=18; биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K; расстояние от K до стороны AB равно 1. Найти площадь.
1. Биссектрисы перпендикулярны. Так как AD∥BC, углы A и B — односторонние, значит ∠A+∠B=180∘. Биссектрисы дают ∠KAB=21∠A и ∠KBA=21∠B, поэтому в треугольнике ABK
∠KAB+∠KBA=21(∠A+∠B)=90∘,∠AKB=90∘.2. Продолжаем биссектрисы до прямой CD. Пусть биссектриса угла A пересекает прямую CD в точке P, а биссектриса угла B — в точке Q. Так как AB∥CD, то ∠DPA=∠PAB=∠DAP (накрест лежащие и по биссектрисе), значит треугольник ADP равнобедренный и DP=AD=18. Аналогично ∠CQB=∠QBA=∠CBQ, откуда CQ=BC=18.
3. Подобие. Прямые AP и BQ пересекаются в K; точки A,B лежат на прямой AB, а P,Q — на параллельной ей прямой CD. Поэтому треугольники KAB и KPQ подобны (по параллельным основаниям), причём коэффициент равен отношению расстояний от K до этих прямых. Пусть AB=a, а высота параллелограмма (расстояние между AB и CD) равна h. Расстояние от K до AB равно 1, до CD — равно h−1, поэтому
ABPQ=1h−1⇒PQ=a(h−1).4. Длина PQ из геометрии. На прямой CD (CD=AB=a): точка P отстоит от D на DP=18, точка Q отстоит от C на CQ=18. Отрезки DP и CQ отсчитываются навстречу и перекрываются (их сумма 36 больше a), а их общая часть и есть PQ:
PQ=DP+CQ−CD=36−a.5. Площадь. Приравнивая два выражения для PQ:
a(h−1)=36−a⇒ah−a=36−a⇒ah=36.Площадь параллелограмма S=AB⋅h=ah=36.
Проверка. Пусть ABCD — прямоугольник со стороной AD=BC=18: тогда ∠A=∠B=90∘, биссектрисы идут под 45∘ и пересекаются на высоте 1 над AB при AB=2. Высота h=18, площадь 2⋅18=36 — совпадает.
Ответ: 36.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ