Задача №20694

Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD\text{.}$

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей радиусов $r_1=12$ и $r_2=20\text{.}$ При внешнем касании расстояние между центрами равно сумме радиусов:

Шаг 1. $AB\parallel CD$ и обе хорды перпендикулярны линии центров.
Общие касательные $AC$ и $BD$ симметричны относительно прямой $O_1{O}_2\text{,}$ поэтому точки $A$ и $B$ симметричны относительно этой прямой, как и $C\text{,}$ $D\text{.}$ Значит, хорда $AB$ перпендикулярна $O_1{O}_2\text{,}$ и хорда $CD$ тоже перпендикулярна $O_1{O}_2\text{.}$ Следовательно, $AB\parallel CD\text{,}$ и искомое расстояние между прямыми равно расстоянию между основаниями этих хорд на прямой $O_1{O}_2\text{.}$

Шаг 2. Наклон касательной.
Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_{1}A\perp AC$ и $O_{2}C\perp AC\text{,}$ поэтому $O_{1}A\parallel O_{2}C\text{.}$ Четырёхугольник $O_{1}AC{O}_2$ — прямоугольная трапеция с основаниями $O_{1}A=12$ и $O_{2}C=20\text{.}$ Проведём через $O_1$ прямую, параллельную $AC\text{,}$ до пересечения с $O_{2}C$ в точке $P\text{.}$ Тогда $CP=O_{1}A=12\text{,}$ значит

В прямоугольном треугольнике $O_{1}P{O}_2$ (прямой угол при $P$) гипотенуза $O_1{O}_2=32\text{,}$ поэтому если $\beta$ — угол между касательной и линией центров, то

Шаг 3. Основания хорд.
Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, поэтому он образует с линией центров угол $\theta =90^{\circ }-\beta \text{,}$ и

Основание хорды $AB$ отстоит от $O_1$ вдоль линии центров на $r_1\cos \theta =12\cdot \frac{1}{4}=3$ (в сторону меньшей окружности), а основание хорды $CD$ отстоит от $O_2$ на $r_2\cos \theta =20\cdot \frac{1}{4}=5$ (в ту же сторону).

Шаг 4. Расстояние.
Откладывая обе величины в одну сторону, получаем расстояние между основаниями:

Проверка координатами: взяв $O_1=(0;0)\text{,}$ $O_2=(32;0)\text{,}$ получаем точки касания $A=(-3;3\sqrt{15})$ и $C=(27;5\sqrt{15})\text{,}$ откуда прямая $AB$ имеет уравнение $x=-3\text{,}$ прямая $CD$ — уравнение $x=27\text{,}$ и расстояние между ними равно $27-(-3)=30\text{.}$

Ответ: $30\text{.}$