Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=47.
Пусть окружность касается луча AB в точке T, а O — её центр, R — радиус.
1. Длина касательной. По свойству касательной и секущей из точки A (степень точки):
AT2=AM⋅AN=24⋅42=1008,AT=1008=127.2. Перпендикуляр к AC. Пусть F — середина хорды MN (основание перпендикуляра из O на прямую AC). Тогда
AF=2AM+AN=224+42=33,MF=242−24=9,и по теореме Пифагора в △OMF: OF=R2−MF2=R2−81.
3. Угол при вершине. Из cos∠BAC=47 находим sin∠BAC=1−167=43.
4. Проекции. Опустим из F перпендикуляр FQ на прямую AB (Q∈AB) и перпендикуляр FG на прямую OT (G∈OT). Прямоугольник FQTG даёт:
FG=QT=AT−AQ=AT−AFcos∠BAC=127−33⋅47=4157, GT=FQ=AFsin∠BAC=33⋅43=499,OG=OT−GT=R−499.5. Уравнение. В прямоугольном △OGF (∠G=90∘) катеты OG и FG, гипотенуза OF:
OF2=OG2+FG2⇒R2−81=(R−499)2+(4157)2.Раскрывая:
R2−81=R2−299R+169801+161575=R2−299R+711.Отсюда 299R=711+81=792, значит 99R=1584 и R=16.
Проверка. При R=16: OF=256−81=175=57; тогда OM=OF2+MF2=175+81=256=16=R и, аналогично, ON=16=R; расстояние от O до AB равно R — окружность действительно проходит через M, N и касается AB.
Ответ: R=16.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ