Задача №20384

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 18 и 22 от вершины $A\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB\text{,}$ если $\cos \angle BAC=\frac{\sqrt{11}}{6}\text{.}$

Пусть $O$ — центр искомой окружности, $R$ — её радиус, а $T$ — точка касания окружности с лучом $AB\text{.}$

1. Длина касательной (теорема о касательной и секущей).

Из точки $A$ проведены секущая, пересекающая окружность в точках $M$ и $N\text{,}$ и касательная в точку $T\text{.}$ По теореме о касательной и секущей квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть:

2. Вспомогательные перпендикуляры.

Пусть $K$ — середина хорды $MN\text{.}$ Тогда $OK\perp AC$ и

Так как $AB$ — касательная, то $OT\perp AB$ и $OT=R\text{.}$

В прямоугольных треугольниках $ATO$ и $AKO$ общая гипотенуза $AO\text{.}$ Обозначим $\angle OAT=\gamma$ и $\angle OAK=\beta \text{.}$ Центр лежит внутри угла $BAC\text{,}$ поэтому

Из этих прямоугольных треугольников

3. Синус угла $A\text{.}$

4. Связь через $\beta =\alpha -\gamma \text{.}$

Раскроем $AK=AO\cos (\alpha -\gamma )\text{:}$

Подставим известные величины:

Отсюда

Ответ: $10,8\text{.}$