Задача №20499

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины $A\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB\text{,}$ если $\cos \angle BAC=\frac{\sqrt{39}}{8}\text{.}$

Дано. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ лежат точки $M$ и $N\text{:}$ $AM=16\text{,}$ $AN=39\text{.}$ Окружность проходит через $M$ и $N$ и касается луча $AB$ в некоторой точке $T\text{.}$ Известно, что $\cos \angle BAC=\frac{\sqrt{39}}{8}\text{.}$

Шаг 1. Длина касательной $AT\text{.}$
Прямая $AC$ — секущая, пересекающая окружность в точках $M$ и $N\text{,}$ а $AT$ — отрезок касательной из той же точки $A\text{.}$ По теореме о касательной и секущей (равенство степеней точки):

Шаг 2. Проекции центра на стороны угла.
Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — искомый радиус. Так как $AB$ касается окружности в точке $T\text{,}$ то $OT\perp AB$ и $OT=R\text{;}$ значит проекция $O$ на прямую $AB$ — это точка $T\text{,}$ причём $AT=4\sqrt{39}\text{.}$

Пусть $P$ — середина хорды $MN\text{.}$ Радиус, проведённый в середину хорды, перпендикулярен хорде, поэтому $OP\perp AC\text{,}$ то есть $P$ — проекция $O$ на прямую $AC\text{.}$ При этом

Из прямоугольного треугольника $OPM$ ($OM=R$):

Шаг 3. Связь через угол $A\text{.}$
Спроецируем ломаную $A\to P\to O$ на прямую $AB\text{.}$ Проекция всего отрезка $AO$ на $AB$ равна $AT$ (ведь $T$ — проекция $O$). С другой стороны, угол между $AC$ и $AB$ равен $\alpha =\angle BAC\text{,}$ а $OP\perp AC\text{,}$ поэтому:

Найдём $\sin \alpha \text{:}$ $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{39}{64}}=\sqrt{\frac{25}{64}}=\frac{5}{8}.$

Подставляем известные величины:

Шаг 4. Радиус.

Проверка (координатный пересчёт). Взяв $A$ в начале, $AB$ по оси $x\text{,}$ получаем $T=(4\sqrt{39};0)\text{,}$ $O=(4\sqrt{39};R)\text{,}$ $M=(2\sqrt{39};10)\text{,}$ $N=\left(\frac{39\sqrt{39}}{8};\frac{195}{8}\right)\text{.}$ Тогда $O{M}^2=(2\sqrt{39}{)}^2+(R-10{)}^2=156+R^2-20R+100\text{.}$ Условие $OM=R$ даёт $256=20R\text{,}$ $R=12,8\text{;}$ подстановка в $ON$ также даёт $O{N}^2=163,84=R^2\text{.}$ Ответ подтверждён.

Ответ: $R=12,8\text{.}$