Задача №20685

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B\text{.}$ Найдите диаметр окружности, если $AB=1\text{,}$ $AC=5\text{.}$

Обозначим центр окружности $O$ (он лежит на стороне $AC$), радиус $r\text{,}$ диаметр $d=2r\text{.}$

1. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной.
Прямая $AB$ касается окружности в точке $B\text{,}$ значит $OB\perp AB\text{,}$ то есть треугольник $AOB$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B\text{.}$ По теореме Пифагора:

2. Выразим $AO$ через радиус.
Точка $C$ лежит на окружности, а центр $O$ лежит на отрезке $AC\text{,}$ поэтому $OC=r$ и

3. Составим уравнение.

Тогда диаметр $d=2r=4,8\text{.}$

Проверка. $AO=5-2,4=2,6\text{;}$ $A{B}^2+O{B}^2=1+2,4^2=1+5,76=6,76=2,6^2=A{O}^2$ — верно.

Ответ: $4,8\text{.}$