Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=611.
Дано: точки M и N на стороне AC треугольника ABC, AM=9, AN=11; окружность проходит через M и N и касается луча AB; cos∠BAC=611. Найти радиус R.
1. Касательная и секущая из точки A. Пусть окружность касается луча AB в точке T. Прямая AC пересекает окружность в точках M и N, то есть является секущей. По теореме о касательной и секущей:
AT2=AM⋅AN=9⋅11=99,AT=99=311.2. Угол A. Обозначим α=∠BAC. Тогда cosα=611, а sinα=1−3611=3625=65.
3. Центр и перпендикуляры. Пусть O — центр окружности. Так как AB — касательная, то OT⊥AB и OT=R. Опустим перпендикуляр из O на прямую AC; его основание K — середина хорды MN, поэтому
AK=2AM+AN=29+11=10,KM=KN=1,OK=R2−1.4. Через диагональ AO. Обозначим d=AO. Треугольники ATO и AKO прямоугольные (прямые углы при T и K), причём d2=AT2+OT2=99+R2. В них
cos∠TAO=dAT=d311,sin∠TAO=dR,cos∠KAO=dAK=d10,sin∠KAO=dR2−1.Лучи AT (по AB) и AK (по AC) лежат по разные стороны от AO, значит ∠TAO+∠KAO=α. По формуле косинуса суммы:
cosα=cos∠TAOcos∠KAO−sin∠TAOsin∠KAO=99+R23011−RR2−1.5. Уравнение на R. Подставляя cosα=611:
611=99+R23011−RR2−1 ⇒ RR2−1=611(81−R2).Возведём в квадрат (R<9, правая часть положительна):
36R2(R2−1)=11(81−R2)2.Пусть x=R2. Тогда 36x2−36x=11x2−1782x+72171, откуда
25x2+1746x−72171=0,x=50−1746+3204=501458=29,16.Значит R=29,16=5,4.
Проверка. AT=311, R=5,4: тогда OM2=(311−9cosα)2+(R−9sinα)2=(2311)2+(5,4−7,5)2=499+4,41=29,16=R2, то есть точка M действительно лежит на окружности радиуса R=5,4.
Ответ: R=5,4.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ