Задача №20257

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD\text{,}$ если $AB=24\text{,}$ а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 16 и 12.

Проведём радиусы к концам хорд и перпендикуляры из центра $O$ к хордам. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам.

Находим радиус по хорде $AB\text{.}$ Пусть $OM\perp AB\text{,}$ тогда $M$ — середина $AB\text{,}$ значит $AM=\frac{AB}{2}=\frac{24}{2}=12\text{.}$ Расстояние $OM=16\text{.}$ Треугольник $OMA$ прямоугольный, по теореме Пифагора

Находим хорду $CD\text{.}$ Пусть $ON\perp CD\text{,}$ тогда $N$ — середина $CD\text{,}$ а $ON=12\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $ONC$

Тогда $CD=2\cdot CN=2\cdot 16=32\text{.}$

Ответ: $CD=32\text{.}$