Задача №20684

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 100, а площадь равна 500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Пусть $a$ и $b$ — большее и меньшее основания равнобедренной трапеции, $c$ — боковая сторона.

Шаг 1. Условие вписанной окружности. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. Для трапеции это даёт $a+b=2c\text{.}$

Шаг 2. Стороны из периметра. Периметр $P=a+b+2c=2c+2c=4c=100\text{,}$ откуда $c=25$ и $a+b=2c=50\text{.}$

Шаг 3. Высота из площади. Площадь $S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{50}{2}\cdot h=25h=500\text{,}$ откуда $h=20\text{.}$

Шаг 4. Основания. Опустив высоты из вершин меньшего основания, для боковой стороны получаем ${\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2+h^2=c^2\text{,}$ то есть ${\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2=25^2-20^2=225\text{,}$ значит $\frac{a-b}{2}=15$ и $a-b=30\text{.}$ Вместе с $a+b=50$ находим $a=40\text{,}$ $b=20\text{.}$

Шаг 5. Точка пересечения диагоналей. Диагонали трапеции $ABCD$ (где $BC=b$ — меньшее основание, $AD=a$ — большее) пересекаются в точке $O\text{.}$ Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных основаниях) с коэффициентом $\frac{BC}{AD}=\frac{b}{a}\text{.}$ Поэтому высоты этих треугольников из вершины $O\text{,}$ то есть расстояния $h_1$ от $O$ до меньшего основания и $h_2$ до большего, относятся так же: $\frac{h_1}{h_2}=\frac{b}{a}\text{.}$

Шаг 6. Искомое расстояние. Так как $h_1+h_2=h=20$ и $\frac{h_1}{h_2}=\frac{b}{a}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}\text{,}$ то $h_1=h\cdot \frac{b}{a+b}=20\cdot \frac{20}{60}=\frac{20}{3}\text{.}$

Проверка. $h_1=\frac{20}{3}\text{,}$ $h_2=\frac{40}{3}\text{,}$ их сумма $\frac{60}{3}=20=h\text{,}$ а отношение $\frac{h_1}{h_2}=\frac{1}{2}=\frac{b}{a}$ — совпадает.

Ответ: расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания равно $\frac{20}{3}\text{.}$