Задача №20401

Углы при одном из оснований трапеции равны $80^{\circ }$ и $10^{\circ }\text{,}$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 17. Найдите основания трапеции.

Пусть в трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, а углы при основании $AD$ равны $\angle A=80^{\circ }$ и $\angle D=10^{\circ }\text{.}$ Обозначим основания $BC=b$ и $AD=a\text{.}$

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Это средняя линия трапеции, она равна полусумме оснований:

Отрезок, соединяющий середины оснований. Продолжим боковые стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $P\text{.}$ В треугольнике $APD$

то есть треугольник $APD$ прямоугольный с прямым углом при вершине $P\text{.}$ Так как $BC\parallel AD\text{,}$ треугольник $BPC$ подобен треугольнику $APD$ и тоже прямоугольный при вершине $P\text{.}$

Пусть $N$ — середина $AD\text{,}$ $M$ — середина $BC\text{.}$ Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине, поэтому

При гомотетии с центром $P\text{,}$ переводящей $BC$ в $AD\text{,}$ середина $M$ переходит в середину $N\text{,}$ значит точки $P\text{,}$ $M\text{,}$ $N$ лежат на одной прямой. Тогда отрезок, соединяющий середины оснований, равен

Составим систему. Так как $\frac{a+b}{2}>\frac{a-b}{2}\text{,}$ большему числу $20$ соответствует средняя линия, меньшему $17$ — отрезок между серединами оснований:

Отсюда $a+b=40$ и $a-b=34\text{.}$ Складывая и вычитая, получаем

Проверка. Средняя линия $\frac{37+3}{2}=20\text{,}$ отрезок между серединами оснований $\frac{37-3}{2}=17$ — совпадает с условием.

Ответ: основания трапеции равны $3$ и $37\text{.}$