Задача №19929

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M\text{,}$ $AD=15\text{,}$ $MD=12\text{,}$
$H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC\text{.}$ Найдите $AH\text{.}$

Дано: остроугольный треугольник $ABC\text{,}$ высота $AD$ ($AD\perp BC$), на $BC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая $AD$ в точке $M\text{.}$ $AD=15\text{,}$ $MD=12\text{,}$ $H$ — ортоцентр (точка пересечения высот). Найти $AH\text{.}$

Шаг 1. Свойство точки $M\text{.}$
Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BC\text{,}$ поэтому вписанный угол $\angle BMC$ опирается на диаметр и равен $90^{\circ }\text{.}$ Значит, треугольник $BMC$ прямоугольный с прямым углом при $M\text{.}$

Отрезок $MD$ лежит на высоте $AD\text{,}$ а $AD\perp BC\text{,}$ поэтому $MD\perp BC\text{,}$ то есть $MD$ — высота прямоугольного треугольника $BMC\text{,}$ опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу $BC\text{.}$ По свойству такой высоты (среднее геометрическое):

Отсюда $BD\cdot DC=12^2=144.$

Шаг 2. Положение ортоцентра $H$ на высоте $AD\text{.}$
Ортоцентр $H$ лежит на высоте $AD\text{.}$ Проведём высоту из вершины $B\text{;}$ она проходит через $H$ и перпендикулярна $AC\text{.}$

Рассмотрим треугольники $BDH$ и $ADC\text{:}$

• $\angle BDH=\angle ADC=90^{\circ }$ (обе высоты перпендикулярны $BC$);
• $\angle HBD=\angle CAD\text{,}$ так как оба угла дополняют угол $C$ до $90^{\circ }\text{:}$ в прямоугольном треугольнике $BDH$ угол $\angle HBD=90^{\circ }-\angle C$ (так как $BH\perp AC$), а в прямоугольном треугольнике $ADC$ угол $\angle CAD=90^{\circ }-\angle C\text{.}$

Значит, $△BDH\sim △ADC$ по двум углам. Из подобия:

Шаг 3. Вычисление.

Точка $H$ лежит между $A$ и $D$ (в остроугольном треугольнике ортоцентр внутри), поэтому

Ответ: $AH=5,4\text{.}$