Задача №20670

Углы при одном из оснований трапеции равны $18^{\circ }$ и $72^{\circ }\text{,}$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 4. Найдите основания трапеции.

Пусть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD\parallel BC$). Углы при основании $AD$ равны $\angle A=18^{\circ }$ и $\angle D=72^{\circ }\text{;}$ их сумма $18^{\circ }+72^{\circ }=90^{\circ }\text{.}$

Средняя линия. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон $AB$ и $CD\text{,}$ — это средняя линия трапеции, она равна полусумме оснований:

Отрезок между серединами оснований. Продолжим боковые стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $P\text{.}$ В треугольнике $APD$ углы при $A$ и $D$ дают $\angle APD=180^{\circ }-(18^{\circ }+72^{\circ })=90^{\circ }\text{,}$ значит треугольник $APD$ прямоугольный с прямым углом при $P\text{,}$ а $AD$ — его гипотенуза.

Пусть $M$ — середина $AD\text{,}$ $N$ — середина $BC\text{.}$ Так как $BC\parallel AD\text{,}$ точки $P\text{,}$ $N\text{,}$ $M$ лежат на одной прямой. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине:

Отрезок между серединами оснований:

Система. Из двух данных отрезков $15$ и $4$ больший — средняя линия (полусумма всегда больше полуразности), поэтому

Отсюда $AD+BC=30$ и $AD-BC=8\text{.}$ Складывая и вычитая:

Ответ: основания трапеции равны $11$ и $19\text{.}$