Задача №20683

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 2,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 5 см?

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию с первым членом $b_1=2,4$ м и знаменателем $q=\frac{1}{2}$ (каждый следующий прыжок вдвое ниже предыдущего):

Переведём порог в метры: $5$ см $=0,05$ м. Нужен первый номер $n\text{,}$ при котором высота прыжка станет меньше $0,05$ м:

Так как $2^5=32<48\text{,}$ а $2^6=64>48\text{,}$ наименьшее подходящее значение показателя $n-1=6\text{,}$ то есть $n=7\text{.}$

Проверка по прыжкам (в см): $240;120;60;30;15;7,5;3,75\text{.}$ Шестой прыжок — $7,5$ см $\ge 5$ см, седьмой — $3,75$ см $<5$ см. Значит, впервые мячик не достигнет высоты $5$ см при седьмом прыжке.

Ответ: 7.