Задача №20681

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C\text{.}$ Найдите длину отрезка $KP\text{,}$ если $AP=9\text{,}$ а сторона $BC$ в 3 раза меньше стороны $AB\text{.}$

Окружность проходит через точки $B\text{,}$ $C\text{,}$ $K\text{,}$ $P\text{,}$ значит четырёхугольник $BKPC$ — вписанный.

Рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB\text{.}$ Угол $A$ у них общий. Так как $BKPC$ вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна $180^{\circ }\text{:}$ $\angle PKB+\angle PCB=180^{\circ }\text{.}$ Но $\angle AKP$ и $\angle PKB$ — смежные, поэтому $\angle AKP=180^{\circ }-\angle PKB=\angle PCB=\angle ACB\text{.}$

Значит, треугольники $AKP$ и $ACB$ подобны по двум углам (соответствие $A\to A\text{,}$ $K\to C\text{,}$ $P\to B$). Из подобия:

Отсюда

По условию $BC=\frac{AB}{3}$ и $AP=9\text{,}$ поэтому

Ответ: $KP=3\text{.}$