Задача №20679

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD\text{,}$ если $BC=8\text{,}$ а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $129^{\circ }$ и $96^{\circ }\text{.}$

Шаг 1. Все вершины лежат на одной окружности.

Точка $M$ — середина стороны $AD$ и равноудалена от всех вершин: $MA=MB=MC=MD=R\text{.}$ Значит, точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{,}$ $D$ лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $R\text{.}$ Так как $M$ — середина $AD$ и $MA=MD=R\text{,}$ отрезок $AD$ проходит через центр, то есть $AD$ — диаметр этой окружности и $AD=2R\text{.}$

Шаг 2. Переходим к дугам.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, вершины идут в порядке $A,B,C,D\text{.}$ Обозначим дуги $⌣AB=a\text{,}$ $⌣BC=b\text{,}$ $⌣CD=c\text{,}$ $⌣DA=d$ (не содержащие остальных вершин). Поскольку $AD$ — диаметр, каждая из двух дуг между $A$ и $D$ равна полуокружности:

Шаг 3. Записываем данные углы через дуги (теорема о вписанном угле).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Угол $B=\angle ABC$ опирается на дугу $AC\text{,}$ не содержащую $B\text{,}$ то есть на дугу $⌣CD+⌣DA=c+d\text{:}$

Угол $C=\angle BCD$ опирается на дугу $BD\text{,}$ не содержащую $C\text{,}$ то есть на дугу $⌣BA+⌣AD=a+d\text{:}$

Шаг 4. Находим дугу $BC\text{.}$

Из $a+b+c=180^{\circ }\text{:}$ $b=180^{\circ }-12^{\circ }-78^{\circ }=90^{\circ }.$

Шаг 5. Из хорды $BC$ находим радиус, затем $AD\text{.}$

Хорда стягивает дугу $b=90^{\circ }\text{,}$ поэтому $BC=2R\sin \frac{b}{2}=2R\sin 45^{\circ }=R\sqrt{2}.$

По условию $BC=8\text{,}$ значит $R\sqrt{2}=8\text{,}$ откуда $R=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$ и

Ответ: $AD=8\sqrt{2}\text{.}$