Задача №19772

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=5$ и $CD=17$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K\text{,}$ причём $\angle AKB=60^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Угол между диагоналями через дуги. Диагонали $AC$ и $BD$ — это две хорды окружности, пересекающиеся в точке $K$ внутри неё. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме заключённых дуг:

откуда

Сведение к одному треугольнику. Отметим на окружности точку $B_1$ так, чтобы хорда $C{B}_1=AB=5$ (то есть $⌣C{B}_1=⌣AB$) и точки шли в порядке $B_1,C,D\text{.}$ Тогда меньшая дуга $B_{1}D$ равна

а вписанный угол $\angle B_{1}CD$ опирается на бо́льшую дугу $B_{1}D\text{,}$ равную $360^{\circ }-120^{\circ }=240^{\circ }\text{,}$ поэтому

Находим третью сторону. В треугольнике $B_{1}CD$ известны $C{B}_1=5\text{,}$ $CD=17$ и угол между ними $120^{\circ }\text{.}$ По теореме косинусов:

так что $B_{1}D=\sqrt{399}\text{.}$

Радиус. Хорда $B_{1}D$ стягивает меньшую дугу в $120^{\circ }\text{,}$ значит $B_{1}D=2R\sin \frac{120^{\circ }}{2}=2R\sin 60^{\circ }=R\sqrt{3}\text{.}$ Отсюда

Ответ: $R=\sqrt{133}\text{.}$