Задача №20673

Постройте график функции

$y=x^2+11x-4|x+6|+30\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскрываем модуль. Выражение под модулем меняет знак в точке $x=-6\text{.}$

1) При $x\ge -6\text{:}$ $|x+6|=x+6\text{,}$ поэтому

$$y=x^2+11x-4(x+6)+30=x^2+7x+6.$$

Это парабола ветвями вверх с вершиной в $x=-\frac{7}{2}=-3,5$ (условие $-3,5\ge -6$ выполнено), $y_{min}=(-3,5{)}^2+7\cdot (-3,5)+6=-6,25\text{.}$ Нули: $x=-6$ и $x=-1\text{.}$

2) При $x<-6\text{:}$ $|x+6|=-(x+6)\text{,}$ поэтому

$$y=x^2+11x+4(x+6)+30=x^2+15x+54.$$

Парабола ветвями вверх с вершиной в $x=-\frac{15}{2}=-7,5$ (условие $-7,5<-6$ выполнено), $y_{min}=(-7,5{)}^2+15\cdot (-7,5)+54=-2,25\text{.}$ Нули: $x=-9$ и $x=-6\text{.}$

Стыковка. В точке $x=-6$ обе части дают $y=0\text{,}$ график непрерывен. Итоговый график имеет:

• локальный минимум $(-7,5;-2,25)$ (левая часть),
• локальный максимум (пик-«излом») $(-6;0)\text{,}$
• глобальный минимум $(-3,5;-6,25)$ (правая часть).

Считаем число общих точек прямой $y=m$ с графиком (горизонтальная прямая):

• $m>0$ — 2 точки (по одной на крайних восходящих ветвях);
• $m=0$ — прямая проходит через пик $(-6;0)$ и пересекает крайние ветви: $x=-9,x=-6,x=-1$ — 3 точки;
• $-2,25<m<0$ — 4 точки (по 2 на каждой «яме»);
• $m=-2,25$ — касание левой вершины (1 точка) + 2 точки на правой «яме» — 3 точки;
• $-6,25<m<-2,25$ — 2 точки (только правая «яма»);
• $m=-6,25$ — 1 точка; $m<-6,25$ — 0 точек.

Ровно три общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=0$ и при $m=-2,25\text{.}$

Ответ: $m=0$ или $m=-2,25\text{.}$