Постройте график функции y=cases x^(2)-10x+25, & x 4, x-2, & x<4. cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Разбор ветвей функции. При x 4: y=x^(2)-10x+25=(x-5)^(2) — парабола с вершиной в точке (5;0). Строим её правую часть, начиная с точки x=4: при x=4 значение y=(4-5)^(2)=1 (точка (4;1) входит в график, ветвь заполнена), минимум y=0 достигается в вершине (5;0), далее ветвь возрастает. При x<4: y=x-2 — прямая. При приближении x к 4 слева y 2, но точка (4;2) в график не входит (выколота). Число общих точек прямой y=m с графиком. Прямая y=m горизонтальна. Подсчитаем пересечения отдельно с каждой ветвью. Левая ветвь (x<4, прямая y=x-2): уравнение m=x-2 даёт x=m+2; точка подходит при m+2<4, то есть при m<2 — тогда ровно одна точка, при m 2 — ни одной. Правая ветвь (x 4, парабола (x-5)^(2)=m): корни x=5+-sqrt(m) при m 0. m<0 — точек нет; m=0 — один корень x=5 (одна точка); 0<m 1 — оба корня 5-sqrt(m) и 5+sqrt(m) не меньше 4 (так как sqrt(m) 1), значит две точки; m>1 — корень 5-sqrt(m)<4 отпадает, остаётся один корень 5+sqrt(m) (одна точка). Складываем количества. | Значение m | Левая | Правая | Всего | |---|---|---|---| | m<0 | 1 | 0 | 1 | | m=0 | 1 | 1 | 2 | | 0<m 1 | 1 | 2 | 3 | | 1<m<2 | 1 | 1 | 2 | | m 2 | 0 | 1 | 1 | Ровно две общие точки прямая y=m имеет при m=0 и при 1<m<2. Ответ: m=0 и 1<m<2.

m=0 и 1<m<2