Задача №19608

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-10x+25,& x⩾4,\\ x-2,& x<4.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Разбор ветвей функции.

При $x⩾4\text{:}$ $y=x^2-10x+25=(x-5{)}^2$ — парабола с вершиной в точке $(5;0)\text{.}$ Строим её правую часть, начиная с точки $x=4\text{:}$ при $x=4$ значение $y=(4-5{)}^2=1$ (точка $(4;1)$ входит в график, ветвь заполнена), минимум $y=0$ достигается в вершине $(5;0)\text{,}$ далее ветвь возрастает.

При $x<4\text{:}$ $y=x-2$ — прямая. При приближении $x$ к $4$ слева $y\to 2\text{,}$ но точка $(4;2)$ в график не входит (выколота).

Число общих точек прямой $y=m$ с графиком.

Прямая $y=m$ горизонтальна. Подсчитаем пересечения отдельно с каждой ветвью.

Левая ветвь ($x<4\text{,}$ прямая $y=x-2$): уравнение $m=x-2$ даёт $x=m+2\text{;}$ точка подходит при $m+2<4\text{,}$ то есть при $m<2$ — тогда ровно одна точка, при $m⩾2$ — ни одной.

Правая ветвь ($x⩾4\text{,}$ парабола $(x-5{)}^2=m$): корни $x=5\pm \sqrt{m}$ при $m⩾0\text{.}$

• $m<0$ — точек нет;
• $m=0$ — один корень $x=5$ (одна точка);
• $0<m⩽1$ — оба корня $5-\sqrt{m}$ и $5+\sqrt{m}$ не меньше $4$ (так как $\sqrt{m}⩽1$), значит две точки;
• $m>1$ — корень $5-\sqrt{m}<4$ отпадает, остаётся один корень $5+\sqrt{m}$ (одна точка).

Складываем количества.

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=0$ и при $1<m<2\text{.}$

Ответ: $m=0$ и $1<m<2\text{.}$